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2010年10月17日 (日)

条件付き確率

今期は放送大学の確率統計の講義を受けています。今日は条件付き確率の話だったのですが、ネット上で探し物をしていてよく理解できなかった問題がありました。それは、「隣人兄弟・他方の性別」という問題です。

問題文は、こうなっています。

隣の家に2人の子供がいる事が解っています、ある日、隣の子供のうち1人が女の子である事が解りました。

このとき、もう1人の子供も女の子である確率はいくつでしょうか?

※なお、男女比は1:1とする。

直感では、

  • 二人目の子供の性別は一人目の性別と独立しているのだから、確率は 1/2 だ。

なのですが、一方、1/3 だという意見もあって、その根拠は

  • (男、男)、(男、女)、(女、男)、(女、女)の組み合わせがあるうち、一人目が男とわかった時点で(女、女)の組み合わせが消えた。だから、(男、男)、(男、女)、(女、男)のどれかなのだから、1/3 だ。一人目が女とわかった時点で(男、男)の組み合わせが消えた。だから、(女、女)、(男、女)、(女、男)のどれかなのだから、1/3 だ。(10/18 訂正しました)

というわけです。

この混乱は、この問題が独立事象の問題としてとらえるか、条件付き確率の問題としてとらえるかの違いによるものだと思います。で、この問題はどちらなのでしょうか。

私は、このサイトに書かれている説明を読んで、ようやく理解できました。つまり、こういうことです。

(独立事象の問題になる場合)

隣の家に2人の子供がいる事が解っています、ある日、隣の子供のうち1人が女の子である事が解りました。

このとき、もう1人の子供女の子である確率はいくつでしょうか?

※なお、男女比は1:1とする。

(条件付き確率の問題になる場合)

隣の家に2人の子供がいる事が解っています、ある日、隣の子供のうち1人が女の子である事が解りました。

このとき、もう1人の子供女の子である確率はいくつでしょうか?

※なお、男女比は1:1とする。

この理解が間違っているというご指摘がありましたが、コメントください。

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(10/18追記) なんか、「が」も「も」も関係ない気がしてきました。条件付き確率の問題として扱っても、やっぱり 1/2 なんじゃないかと。

条件付き確率の定義を考えると、

事象Bが起こるという条件のもとで別の事象Aが起こる確率を条件付き確率といい、P(A|B)で表す。

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

ですね。

ここで、B:一人が女の子、A:一人が女の子とすると、二人とも女の子であるという事象はA∩Bです。したがって、「一人目が女の子で合った場合、二人目も女の子である確率」すなわちP(A|B)は上式より、

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (1/4) / (1/2) = 1/2

です。だから、条件付き確率でやっても 1/2 が正しい。

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コメント

朝はリンク先を読まずにコメントしたが、今リンク先を見たら1/3が正解とあるんですね。これはひどい。プロフィールに早稲田の理系とあるし、とほほ。それとも数学的には間違っていてもビルゲイツの入社問題的には1/3が正解ということなんだろうか。

かみやんさん、いつもコメントありがとうございます。

よく読んでみたら、私の文章おもいっきりまちがってますね。

> 一人目が男とわかった時点で(女、女)の組み合わせが消えた。

問題では一人目が女だとわかったといっていました。修正します。

うーん。
そもそも2人の子供の性別に相関はなく、独立なので、1名の子を条件としたところで、残りの子の確立は1/2だと思います。
(一卵性双生児は同性とかも無視でよいという問題のようなので)
最後の「が」「も」の違いもないと思います。

> (男、男)、(男、女)、(女、男)、(女、女)の組み合わせがあるうち、一人目が男とわかった時点で(女、女)の組み合わせが消えた。

これがトリックで、かっこの左を一人目に見つかる人、かっこの右を2人目に見つかる人と、考えると、1人目が男と分かれば、(女、女)と(女、男)が消えて、残りは、(男、男)、(男、女)で、2人目の確率は、やはり1/2。

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